Felix Lau
Die Form der Paradoxie

Eine Einführung in die Mathematik und Philosophie der „Laws of Form“ von G. Spencer Brown
Carl-Auer 2008

Lau Form 23
Die Methode von Befehl und Betrachtung

Der deutschen Auflage der Laws of Form, die 1997 erschien, stellt George Spencer Brown eine Diskussion der Unterscheidung zwischen den Methoden „Befehl und Betrachtung“ sowie „Gerede und Interpretation“ voran.
(
Man findet diese Unterscheidung in der ersten Vorbemerkung zu den Gesetzen der Form, überschrieben mit „Vorstellung der internationalen Ausgabe“, die sich in keiner anderen Ausgabe der Laws of Form findet.)

Da die Darstellungsmethode einen inneren Zusammenhang mit dem Thema der Laws of Form aufweist, wird sie hier kurz dargestellt. Der Unterschied der beiden Methoden beruht auf einer unterschiedlichen Sprachverwendung (anweisend – beschreibend), die mit einer Erkenntnis über Sprache korreliert:

Gesagtes kann man glauben – aber nicht wissen.

Die von George Spencer Brown verwendete Methode beruht darauf, dass der Lernende bzw. Noch-nicht-Wissende Aufforderungen befolgt, bestimmte Operationen selbst durchzuführen und dann zu betrachten, wohin er mit ihnen gelangt. In herkömmlichen mathematischen Texten findet man keine Aufforderung, etwas selbst zu tun. (Ausgenommen natürlich die floskelhafte Aufforderung: „Den einfachen Beweis möge der interessierte Leser selbst finden.“
Die dort verwendete Formulierung „Es sei...“ verschleiert die Herkunft einer Unterscheidung.
Es wird also unentwegt unterstellt, dass bestimmte Dinge so-und-so sind (tatsächlich und von sich aus). Die Sprachform ist dann beschreibend und lässt insofern einen Spielraum für Meinungen und Interpretationen.

Boe:...dass Erkenntnisleistungen immer Konstruktionsleistungen sind.

Aber gerade die Mathematik kann sehr schön zeigen,
dass das, was wir (als wahr) erkennen, von dem abhängt, was wir tun (müssen), um dorthin zu gelangen. Dann ist sie anweisend, mithin unabhängig von Meinungen, und impliziert, dass Erkenntnisleistungen immer Konstruktionsleistungen sind.

Das heißt, die Definitionen und Unterscheidungen, die wir treffen, legen den Rahmen dessen fest, was wir erkennen können.

Boe: Definition = Abgrenzung, Begrenzung - Unterscheiden = Grenze ziehen

Diese Auffassung widerspricht dem Glauben an Tatsachen und lenkt die Aufmerksamkeit auf die Bedingungen und Vorannahmen, unter denen jemand etwas (als wahr) erkennen kann. Insofern wird mit der Methode von Befehl und Betrachtung auch herausgestellt, was wir unter der „Form von Gesetzen“ verstehen können. Dieser Vorgehensweise, bestimmte Konstruktionen, Benennungen und Berechnungen vorzuschlagen und dann zu betrachten, was man erhält, und welche Eigenschaften vorliegen, bedient sich George Spencer Brown für die Darstellung seines Indikationenkalküls. Wir können dies als Lenkung von Aufmerksamkeit verstehen und bemerken die Ähnlichkeit zur sokratischen Methode der vermittelnden Gesprächsführung.
Die didaktische bzw. methodische Vorgehensweise von George Spencer Brown in den Laws of Form basiert demnach auf einem grundlegenden Wissen:

Überhaupt nichts kann durch Erzählen gewusst werden.“ (SPENCER BROWN 1997: XII)

Was man erzählt bekommt, kann man glauben oder lernen, aber nicht wissen. Wissen erlangt man allein durch eigene Erfahrung. Ohne Erfahrung ist „Wissen“ abstrakt und leer – und mithin kein Wissen, sondern eben Glaube oder Meinung.

Diesen Erfahrungshorizont des Wissens kann der Lehrende nur durch die Methode von Befehl und Betrachtung öffnen. Auf diese Weise wird der Lernende angeleitet, selbst zu entdecken, was es ist, das er weiß – er wusste vorher lediglich nicht, wie und wohin zu schauen.
In diesen Zusammenhang fällt, dass George Spencer Brown auf der Ebene der Rhetorik den Imperativ verwendet. Damit stellt er unentwegt heraus, dass es die Lesenden selbst sind, die die Unterscheidungen treffen, und nicht der Autor, der lediglich Vorschläge für zu treffende Unterscheidungen macht.
(In diesem Sinne ist auch die Kommunikationstheorie von Niklas Luhmann zu verstehen: Durch Kommunikation wird keine Information übertragen. Der Sprecher kann nicht wissen, wie der Hörer seine Aussagen versteht, was sie bei ihm bewirken, auf welchen Boden an Bedeutungen sie fallen; er kann nicht einmal sicherstellen, dass der Hörer die verwendeten Begriffe mit den von ihm gemeinten Unterscheidungen assoziiert, geschweige denn, dass er überhaupt zuhört. Deshalb ergibt sich: Wollte man Wissen vermitteln, müsste man dem Gesprächspartner mitteilen, was er zu tun hat (welche Unterscheidungen er wie einzusetzen hat), so dass er das zu vermittelnde Wissen selbst erfährt. Denn dann gibt es keinen Zweifel und es ist keine Frage von Meinung mehr, dass das Befolgen der Anweisungen zu dem Ergebnis geführt hat. Gibt man beispielsweise einem Musiker die Anweisung, bestimmte Töne auf bestimmte Art und Weise zu spielen, ist es keine Frage von Meinung, wie das Stück klingt – wohingegen es Sache von Meinung und Geschmack bleibt, ob es einem gefällt oder wie man die Qualität der Aufführung einschätzt.

Da es auch eines seiner inhaltlichen Anliegen ist
zu zeigen, dass wir selbst es sind, die unsere Welt durch die Beobachtung erzeugen, ist die Verwendung des Imperativs (als Aufforderung) Ausdruck seines Verständnisses von Welt. Er vertritt und betreibt diese These, indem er die Lesenden, die Beobachter seines Kalküls, anleitet, sich selbst als die Schöpfer der Form zu erkennen.

Aus der dem Kalkül inhärenten Absage an wahrheitsfähige Sachverhalte im herkömmlichen Sinne ergibt sich die Darstellung und Durchführung des Kalküls vermittels der Form des Imperativs.

George Spencer Brown wendet sich also gegen eine Methode zum Wissenserwerb, die Gesetze und Definitionen so verwendet, als vermittelten diese etwas objektiv Wahres. Hinter dieser Vorgehensweise sieht er die irrige Doktrin, dass jemand etwas wissen könne, indem man es ihm bloß erzählt. Stattdessen ist sein Vorschlag, gerade auch Gesetze und Definitionen nicht als Beschreibungen, sondern als Befehle oder Aufforderungen zu begreifen. Sie sind die Regeln von „Lasst uns so tun, als ob“-Spielen.

Wenn wir also eine Definition gebrauchen oder ein Gesetz befolgen, meint George Spencer Brown, tun wir nichts, als diese zu gebrauchen oder zu befolgen; sie repräsentieren keine objektive und allgemeingültige Wahrheit. Aus diesem Grunde können wir nicht von falschen Definitionen sprechen. Die Definition der Methode von Befehl und Betrachtung könnte lauten: Nenne dies so-und-so, tue jenes und schaue, was es ist, das du erhältst.

Als Beispiel für seine methodische Vorgehensweise und dafür, wie man zu Wissen statt zu Glauben kommt, führt er einen (altbekannten) Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen an, in dem er das Augenmerk auf die anweisende Lehrform lenkt. Ausgangspunkt ist folgender: Ich habe jetzt zwar geschrieben – und Sie haben es vermutlich andernorts auch schon gehört –, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nur: damit wissen Sie noch nicht, dass das tatsächlich der Fall ist. Sie können es mir oder anderen nur glauben – bis Sie es wissen. Und wenn Sie es wissen, können und brauchen Sie es nicht mehr zu glauben. Um etwas zu wissen, muss man es „tiefer“ erfahren haben – das hängt mit eigener Tätigkeit zusammen – als es das bloße Hören oder Lesen bewirken kann. In diesem Fall muss man selber nach- oder mitgedacht haben.

Wir bringen den Beweis, der auf Euklid zurückgeht, nicht aufgrund seiner Originalität, sondern weil er sich wegen seiner Anschaulichkeit und eleganten Einfachheit gerade für mathematische Laien eignet, die Methode von Befehl und Betrachtung selbst nachzuvollziehen. Mit der Darstellung von George Spencer Brown erkennt man anschaulich die allgemeine Form von Beweisen: Nenne dies so-und-so, berechne dieses und jenes, und betrachte, was es ist, das du erhältst. Es ist diese Beweisform, die auch hinter der Methode von Befehl und Betrachtung steht, die hier interessiert, denn der Beweis selbst ist geläufig, bietet nichts Neues.

Wenn man über einen Begriff der Primzahlen verfügt (Definition: Jede natürliche Zahl, die genau nur durch eins und sich selbst ohne Rest teilbar ist, wird Primzahl genannt) und eine Vorstellung davon hat, dass Zahlenmengen dahingehend charakterisiert (unterschieden) werden können, ob sie endlich oder unendlich viele Zahlen umfassen, kann man sich fragen, in welche Kategorie denn nun die Menge der Primzahlen fällt. Die reine Anschauung hilft da nicht weiter, da klarerweise die Dichte der Primzahlen mit der Größe der untersuchten Zahlenmenge abnimmt. Denn: Je größer eine Zahl ist, umso mehr mögliche Teiler gibt es. Vielleicht mag man nicht glauben, dass sie ein Ende nehmen, denn nur die Ausdünnung allein liefert keinen zwingenden Grund dafür, dass sie nicht endlos auftreten könnten. Man kann sich eine Meinung bilden, solange man nicht weiß, was der Fall ist. Also: Ist die Anzahl der Primzahlen endlich oder unendlich?

Sobald jemand Interesse daran hat, diese Frage zu entscheiden, also ein Motiv verfolgt, wird er nach einem Beweis bzw. einer Beweisidee suchen. Das ist die Form, Fragen mathematischer Art zu entscheiden. Und es ist auch klar, dass jede Zahlenmenge entweder endlich oder unendlich groß ist. Es kann nicht sein, dass sie beides, keines oder etwas „dazwischen“ ist.

Eine Möglichkeit, sich der Frage der Mächtigkeit der Primzahlen zu nähern, ist anzunehmen, es gäbe endlich viele und mithin eine größte, nennen wir sie m. Die Annahme der Endlichkeit ist der erste Befehl, der zu befolgen ist; dass es dann eine größte Primzahl geben muss, ist die erste Betrachtung. Um den Beweis führen, verstehen und akzeptieren zu können, ist es nicht notwendig, diese größte Primzahl zu kennen. Es wird lediglich angenommen, es gäbe eine Zahl mit der Eigenschaft, die größte aller Primzahlen zu sein, so dass deren Anzahl endlich ist. Nehmen wir also an, es existiere m.

Die Beweisidee enthält folgende Anweisungen und Betrachtungen: Multipliziere alle Primzahlen bis zur größten (m) miteinander und addiere dann 1. Diese so produzierte Zahl, nenne sie M+1, ist durch keine der miteinander multiplizierten Primzahlen teilbar, welche der Annahme nach alle sind. Betrachte dazu folgende Überlegung: Wenn man M+1 durch eine beliebige der endlich vielen Primzahlen teilt, dann bleibt stets der Rest eins, schließlich ist jede Primzahl Teiler von M. Und wenn eine Zahl durch keine Primzahl teilbar ist, dann ist sie durch überhaupt gar keine Zahl teilbar – außer durch sich selbst und durch 1.

Die Konstruktion von M+1 erfolgte durch das Befolgen der Befehle, mit denen man sie bestimmen kann. Nun ist der Schluss aus der Beobachtung zu ziehen: M+1 ist entweder selbst eine Primzahl (und größer als m) oder aus Faktoren zusammengesetzt, die größere Primzahlen als m sind. Als Veranschaulichung dieses Unterschiedes mögen folgende Beispiele dienen:

Nehmen wir an, 11 wäre die größte Primzahl, dann ist M+1: 2•3•5•7•11+1 = 2311. Diese Zahl ist prim. Nehmen wir an, 13 wäre die größte Primzahl, dann ist M+1: 2•3•5•7•11•13+1 = 30031. Diese Zahl ist selbst keine Primzahl, sondern das Produkt der Primzahlen 59 und 509. In beiden Fällen muss es mindestens eine Primzahl geben, die größer als m ist.

Damit wurde bewiesen, dass die Annahme, die Primzahlen seien endlich und es gäbe mithin eine größte, zu dem Schluss führt, dass es größere Primzahlen gibt und damit die Menge der Primzahlen unendlich groß ist. Dabei wird für den Beweis keine Primzahl berechnet oder bestimmt, sondern nur die Gewissheit erlangt, dass es eine größere als die angenommene geben muss.

Abgesehen von dieser schönen Beweisidee haben wir mitverfolgt, wie die Methode von Befehl und Betrachtung praktisch aussieht: Anweisungen ausführen („Nimm ... an“, „Berechne ...“) und zu überlegen, was es ist, das man so erhält, welche Eigenschaften vorliegen und was das hinsichtlich der zu klärenden Frage bedeutet.

Vor dem Hintergrund der „Methode von Befehl und Betrachtung“ ist auch zu verstehen, dass George Spencer Brown in dem ersten Vorwort der Laws of Form, der „Vorstellung der internationalen Ausgabe“, betont,

dass es in diesem Text nirgendwo einen einzigen Satz gibt, welcher besagt, was oder wie irgend etwas ist.“ (SPENCER BROWN 1997: X)

Außer diesem Satz selbst. Ironischerweise ist diese Feststellung die einzige Setzung, der einzige Satz in den Laws of Form, der sagt, wie etwas ist, bzw. wie etwas nicht ist – das heißt, man kann das nur glauben oder nicht, bis man es durch den Nachvollzug des Kalküls geprüft hat. Der zitierte Satz bleibt jedoch ein Satz, der etwas darüber aussagt, was oder wie irgend etwas ist: Es ist so, dass es in den Laws of Form keinen Satz gibt, der besagt, was oder wie etwas ist. Diese Problematik wird entschärft, wenn man „diesen Text“ (Zitat) auf die Darstellung des Kalküls bezieht, also auf die 12 Kapitel des Haupttextes der Laws of Form. Hier soll nur vorbereitend darauf hingewiesen werden, dass diese Problematik dadurch entsteht, dass der zitierte Satz auch auf sich selbst bezogen wird. Für den Haupttext gilt tatsächlich, dass er nur Sätze enthält, die auffordern, etwas zu tun (zu benennen, zu unterscheiden, Regeln anzuwenden etc.) und zu betrachten, was sich daraus ergibt.

Da es eine der Absichten dieses Textes ist, anhand der Laws of Form zu zeigen, dass Objekte oder andere Manifestationen von Unterscheidungen in diesem Sinne nicht wirklich (objektiv, unabhängig) sind, da die Welt keine Unterscheidungen enthält, sondern wir Beobachter es sind, die diese mit dem Prozess des Beobachtens mit-produzieren, geraten wir in das Problem,

dass wir in einem Buch Worte und andere Symbole in einem Versuch gebrauchen müssen, das auszudrücken, was der Gebrauch von Worten und anderen Symbolen bislang verschleiert hat.“ (SPENCER BROWN 1997: XXXIV)

Denn Sprache ist, da sie auf den Gebrauch von Unterscheidungen angewiesen ist, einerseits unfähig zu beschreiben, wie Realität entsteht, andererseits ist sie aber gerade das Medium, das wir benötigen oder zumindest einsetzen, so dass Realität erzeugt und wahrgenommen werden kann.
Erst indem die Aufmerksamkeit auf das Treffen von Unterscheidungen gerichtet wird, können wir erkennen, wie Realität zu Existenz gelangt, und einen Versuch unternehmen, durch Sprache das Unsagbare zu sagen. So benutzt die Lehr- oder Darstellungsmethode von Befehl und Betrachtung Sprache, um zu einer letztlich nicht-sprachlichen Erfahrung, Erkenntnis oder Einsicht zu führen
.

Man kann hier eine Verwandtschaft zu Ludwig Wittgensteins Sprachphilosophie vermuten, die auch George Spencer Brown in seinen Anmerkungen bestätigt. Matthias Varga von Kibéd hat diese Zusammenhänge beleuchtet in: „Wittgenstein und Spencer Brown“ in WEINGARTNER/SCHURZ 1989.

Sprache ist nur vorstellbar, indem mit ihr abgegrenzt wird, beispielsweise indem jemand über etwas spricht, und indem sie (bzw. mit ihr) zwischen dem, über das jemand spricht, und anderem, über das er nicht spricht, zu unterscheiden ermöglicht.
Sprache gebraucht notwendig Unterscheidungen; und zwar in jeder Wortverwendung, da jedes Wort von anderem Unterschiedenes meint.

Wie wir aus dem Kalkül ersehen, sind Worte oder Namen nicht als Verweise auf eine unabhängige Realität zu verstehen. Vielmehr markieren sie Grenzziehungen eines Beobachters, denn sie erhalten ihren Gehalt eben nur durch einen Beobachter, der eine Anzeige verwendet, um eine Unterscheidung operativ brauchbar zu machen. Deshalb ist es unmöglich, die Welt oder Wirklichkeit, wie sie unabhängig von einem Beobachter sein könnte, zu beschreiben.
Jede Beschreibung ist die Beschreibung eines Beobachters. Und jede Unterscheidung ist eine Unterscheidung eines Beobachters. Das, was der Fall ist, ist immer für einen Beobachter der Fall
.
Zudem scheint Sprache dafür verantwortlich zu sein, dass wir die Unterscheidungen, die sie trifft oder die wir in oder mit ihr treffen, für wahr halten. So, als dächten wir, die Unterscheidungen und Bezeichnungen fänden sich in einer Wirklichkeit als objektiv gegeben, spiegelten diese gleichsam wider.
Dies zu realisieren, dass Worte nichts Wirkliches bezeichnen oder anzeigen, sondern von jemandem verwendet werden, um die Welt handhabbar zu gestalten, meint George Spencer Brown, wenn er von „Entlernen“ redet. In der „Einführung“ in die Laws of Form spricht er vom

Entlernen der geläufigen deskriptiven Superstruktur, welche, bis sie abgelegt ist, irrtümlich für die Wirklichkeit gehalten werden kann.“ (SPENCER BROWN 1997: XXXIV)
Unlearning of the current descriptive superstructure which, until it is unlearned, can be mistaken for the reality.“ (SPENCER BROWN 1969: XX)

Für einen klaren Blick auf Realität wird es unerlässlich sein, die Unter-scheidung zwischen dem Namen und dem Benannten nicht aus den Augen zu verlieren und in ihrer ganzen Tragweite zu erfassen. Hier soll die Aufmerksamkeit darauf gelenkt werden, dass wir leicht die Realität verwechseln mit der Beschreibung von Realität, respektive mit unseren Gedanken über Realität, die beide Unterscheidungen benötigen.

Boe: Alfred Korzybski - The map is not the territory

Ein Beispiel ist der Begriff „Mensch“. Für die moralische oder (straf-) rechtliche Beurteilung von Abtreibung stellt sich unter anderen die Frage: Ab wann ist ein Fötus ein Mensch? (Oder auch: Wofür wird eine Unterscheidung zwischen Fötus und Mensch benötigt?) Man kann das nicht wissen. Man kann sich nur entscheiden und es dann so (oder anders) leben, indem man Abtreibung verbietet (oder gestattet). Am Beispiel des Begriffes „Mensch“ wird auch deutlich, dass Begriffe je nach dem Zusammenhang, in dem sie gebraucht werden, Verschiedenes bezeichnen: Je nachdem, ob man von der Unterscheidung Mensch-Gott, Mensch-Tier oder Mensch-Maschine ausgeht, erhält der Begriff „Mensch“ eine andere Bedeutung.
Die Bedeutung eines Begriffes hängt an dem, was mit dem Begriff nicht gemeint ist.
Das heißt, Sprache verschleiert, dass die Dinge nicht so sind, wie wir sie benennen, sondern wir durch die Benennung die Welt unterteilen – und letztlich die Freiheit haben, die Grenzen zu ziehen, wo es uns beliebt
.

Im vorliegenden Text wird die Methode von Befehl und Betrachtung nicht durchgehalten. Er ist explizit beschreibend, erläuternd und interpretierend. Die Laws of Form wurden derart geschrieben, um die Form von Gesetzen demonstrieren zu können. Gesetze sind Aufforderungen und keine Beschreibungen von Ist-Zuständen. Der vorliegende Text zieht sich auf einen beschreibenden und erklärenden Standpunkt zurück, er beschreibt und erläutert die Anweisungen und Betrachtungen, die in den Laws of Form vorgenommen werden.

Felix Lau


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