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Lau Form 87
1. Gleichungen zweiten Grades
Der Indikationenkalkül hat bislang bis auf seine einfache, schlichte, geradezu minimalistische Darstellung nichts grundsätzlich Neues zu Tage gebracht, das heißt, bis hier unterscheiden sich die Algebren Booles und Spencer Browns inhaltlich nicht. Aus der Einfachheit und dem minimalis-tischen Formalismus resultiert aber gerade die Einsicht, dass Gleichungen nicht auf den ersten Grad beschränkt sind. Am Ende dieses Kapitels soll daher auf den Unterschied zwischen Boolescher und Brownscher Algebra eingegangen und herausgearbeitet werden, woher der Gewinn der Entdeckung von Gleichungen höheren Grades rührt und was sie für die mathematische Theorie leistet.
In den vorangegangenen Abschnitten wurde der Indikationenkalkül bis zu einem Punkt entwickelt, von dem aus die wichtigen Eigenschaften Vollständigkeit und Unabhängigkeit gefunden werden konnten. Nun betreten wir Neuland, indem ein Verfahren entdeckt wird, mit dem gewisse unendliche Ausdrücke als endliche dargestellt werden können, so dass ihre zugehörigen Werte trotz der Unendlichkeit in einer endlichen Berechnung gefunden werden können.
Der Grad einer Gleichung gibt die Unbestimmtheit des Wertes (markiert oder unmarkiert) der in ihr vorkommenden Ausdrücke an. Ausdrücke in Gleichungen ersten Grades sind eindeutig bestimmt und es werden keine weiteren benötigt, um beispielsweise Logik zu betreiben. Von daher ist es nicht verwunderlich, dass es gelingen konnte, eine fundamentale Algebra (wie zum Beispiel die von George Boole) auf einem logischen Fundament zu entwickeln.
Jedoch handelt man sich damit unüberwindliche Probleme ein, da man die Mathematik von Gleichungen höheren Grades abschneidet, wenn man sie mit Logik begründet; denn auf diese Weise werden (unnötigerweise) logische Beschränkungen in die Mathematik importiert.
Um den Zugang zu diesem wesentlichen und schwer verständlichen Kapitel zu erleichtern, wird eine kurze Skizze des Inhaltes vorangestellt: Nach George Spencer Brown erhält man Gleichungen zweiten Grades, indem unendliche algebraische Ausdrücke durch Selbstbezüglichkeit als endliche Gleichungen darstellt werden. Dazu muss ein Teilausdruck auf beiden Seiten der Gleichung auf noch zu spezifizierende Art und Weise vorkommen.
Die so genannten Gedächtnis- und Oszillatorfunktionen liefern die einfachsten selbstbezüglichen Ausdrücke:
entweder wird immer der gleiche Wert (selbstbestätigend) angenommen oder es findet ein permanenter Wechsel des Wertes (selbstwidersprechend) statt. Auf der Ebene von Aussagen entsprechen diese Gleichungen der Tautologie und der Paradoxie.
Nun sind Gleichungen zweiten Grades nur dann stets einer Lösung zugänglich, wenn man einen bisher nicht benötigten und betrachteten Wert gebraucht. Als Lösung für Gleichungen zweiten Grades führt George Spencer Brown den so genannten imaginären Wert ein, den er beschreibt als Oszillation zwischen dem markierten und dem unmarkierten Zustand.
Diese Oszillation, die Zeit benötigt, unterwandert die Grenze der Unterscheidung, was durch das Bild des Tunnels dargestellt wird.
Für die mathematische Form, mit der der imaginäre Wert entdeckt wird, prägte George Spencer Brown den Begriff re-entry (Wieder-Eintritt):
Eine Unterscheidung wird auf ihrer bezeichneten Seite in sich selbst wieder eingeführt. Sie ist dann einerseits die getroffene, gerade verwendete Unterscheidung, die Grundlage einer Beobachtung, aber auch der Gegenstand der Beobachtung. In der oben erwähnten Terminologie können wir formulieren, dass die Unterscheidung einerseits getroffen und andererseits vorgestellt wird (siehe im Abschnitt „Grundlegende Ideen: Unterscheidung und Anzeige“ in I. 1.: S. 36).
Niklas Luhmann spricht dabei vom re-entry der Unterscheidung in das Unterschiedene. So führt ein re-entry beispielsweise zu Fragen wie: Ist die Unterscheidung zwischen wahr und falsch selbst wahr oder falsch? Ist die Unterscheidung zwischen gerecht und ungerecht selbst denn überhaupt gerecht?
Nur mit der Figur des re-entry ist (Selbst-)Reflexion möglich, denn nur so ist es möglich, sich intern wie von außen zu beobachten. Auch Selbstreferenzen wie die Erforschung der Forschung, die Liebe der Liebe oder das Erlernen des Lernens etc. sind durch einen re-entry beschreibbar.
Im Kontext des vorliegenden Textes wird die Figur des re-entry aber vor allem für die ernsten wissenschaftlichen Probleme in den Grundlagen der Mathematik fruchtbar (siehe dazu den Teil II: „Zu den Grundlagen der Mathematik: Die Form der Paradoxie“, S. 112ff.).
11. Kapitel: Gleichungen zweiten Grades
Das 11. Kapitel der Laws of Form leitet George Spencer Brown ein, indem er betont, dass die Anzahl der Schritte in einer Demonstration endlich ist. Hätten wir uns nicht derart beschränkt, hätten wir Demonstrationen nicht durchführen können; wir hätten in unendlichen Ausdrücken keine Möglichkeit, ihren Wert zu bestimmen. Der Kanon 9 (Regel der Demonstration) ist ein Prinzip, das wir die ganze Zeit befolgt haben und befolgen mussten. Es besagt, dass die Demonstration einer jeden Äquivalenz von Ausdrücken in endlich vielen Schritten durchgeführt werden kann (vgl. SPENCER BROWN 1997: 47; 1969: 54). Denn wenn sie nicht in endlich vielen Schritten durchgeführt werden kann, kommt man nie zu einem Ende, das heißt, man könnte die Demonstration nicht durchführen. Der neunte Kanon ist eine Wiederholung und Fixierung der Endlichkeit, die wir für Ausdrücke (nicht für Rechenschritte) schon im ersten Theorem („Form“) gefunden hatten.
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Unendliche Ausdrücke und selbstbezügliche Gleichungen
Wir können eine Folge von wiederkehrenden Befehlen beginnen, um einen Anfangsausdruck in andere, äquivalente Ausdrücke zu ändern, die sich nur in der Länge unterscheiden: Abwechselnd sind a und b durch eine Unter¬scheidung getrennt. Mit der Darstellung einer Schrittfolge von äquivalenten Ausdrücken zeigt George Spencer Brown, dass der Ausdruck
S1: a b
Boe: Da ich nur mit Mühe Formeln lesen kann, und eigentlich wissen will was "re-entry" bedeutet, fahre ich durch einen Tunnel zu Seite 92
Seite 92: Der re-entry und der imaginäre Wert
Wegen der Unendlichkeit von Ausdrücken ist es möglich, algebraische Gleichungen aufzustellen, die in der Primären Arithmetik nicht dargestellt werden können. Der Abstecher in die Unendlichkeit macht es unmöglich, bestimmte Gleichungen in der Arithmetik zu überprüfen.
Seite 93: Dieser Zustand befindet sich nach George Spencer Brown nicht mehr im Raum – wie alle Formen und Ausdrücke zuvor –, sondern in der Zeit.
Zeit ist ein vollkommen neues Konzept im Kalkül. Zeit ist auch Form, aber sie stammt aus der Idee der Veränderung, während Raum, unser bisheriges Konzept, auf der Idee der Konstanz, der Stabilität beruht.
„Wir weichen aus in den Tunnel, und das heißt: in die Zeit.“ (BAECKER 1993b: 13)
Die paradoxe, von der einen auf die andere Seite der Unterscheidung verweisende Situation, wie sie die Oszillatorfunktion darstellt, kann mit den Mitteln, die der Kalkül mit den Gleichungen ersten Grades bereitstellt, nicht gelöst werden. Weder ist eine der Seiten die Lösung noch beide oder keine. Deshalb wird ein völlig neues Konzept eingeführt, ein Konzept, das die paradoxe Situation in ein Nacheinander der Zustände auflöst. In einer endlosen Oszillation wechselt die Markierung zwischen den beiden Zuständen oder Werten.
Der unendliche Ausdruck o muss unentwegt verlängert werden, um die Bedingung zu erfüllen, O zu lösen. Weil der Vorgang ohne Ende verläuft, setzt er sich zeitlos fort. Auf der einen Seite generiert er also Zeit, weil der imaginäre Zustand der Form nicht im Raum lösbar ist, auf der anderen Seite tilgt er den Unterschied, den Zeit macht, da sich für ihn nie ändert, dass er sich stets verändert, und er wird zeitlos. Unendlichkeit und Zeitlosigkeit entstehen zugleich als die Seiten der Grenze Zeit.
In seiner Rezension der Laws of Form hat Heinz von Foerster auf die Entdeckung bzw. Entwicklung der Zeit aus den Axiomen euphorisch hingewiesen. Ich möchte diesen Aspekt hier nur kurz anschneiden, um dann im erkenntnistheoretischen Teil näher auf das „Entstehen“ von Zeit im Zusammenhang mit Raum einzugehen (siehe Seite 163ff.).
Die hier mit der Oszillation gefundene Zeit ist der Wechsel zwischen den Zuständen unserer ersten Unterscheidung. Der einzig mögliche Wechsel ist das Kreuzen von einem Zustand in den anderen. Auch in der Algebra der Gleichungen ersten Grades kreuzen wir Unterscheidungen, aber dort sind wir es (von außen), die etwas tun – ansonsten ist das System statisch. Wenn wir aber einen selbstbezüglichen Ausdruck aufstellen, „bewegt“ er sich von allein. Das ist der Unterschied.
Boe: Selbstorganisation - Autopoiesis - nicht-lineare Prozesse: .."mit den Laws of Form haben wir eine Mathematik vorliegen, die Feedback-Prozesse beschreiben kann". Feedback-Prozesse "brauchen" Zeit.
Das Konzept von Zeit, das wir mit dem imaginären Zustand oder Wert erhalten, entspricht jedoch nicht dem alltäglichen Zeitkonzept. Mit der Oszillation geht kein Maß einher, was für unser gängiges Konzept von Zeit unentbehrlich ist. Diese „erste Zeit“ hat keine Dauer, kein Maß; sie ist lediglich der Wechsel, das Hin-und-her zwischen den Zuständen. Die Oszillation hat eben noch keine Geschwindigkeit, für die man Maßeinheiten von Raum und Zeit bräuchte. Und erst wenn man Geschwindigkeiten unterscheidet und so die Idee eines Maßes für Geschwindigkeiten entwickeln kann, erhält man ein Konzept von Zeit, das auf der Länge von Zeiteinheiten und deren Messbarkeit beruht. Für den hier intendierten Zeitbegriff gilt aber noch ganz abstrakt, dass er als sich entscheidende Unentschiedenheit auftritt (vgl. BAECKER 2002: 77).
Boe: Medium Zeit
Es ist einleuchtend, dass eine Veränderung nur erkannt werden kann, wenn ein „Medium“ daran beteiligt ist, in dem die Veränderung stattfindet: die Zeit. Das heißt nicht, dass das „Medium“ der Veränderung ontologisch vorgängig sein müsste, sondern vielmehr, dass beide Seiten einander derart bedingen, dass sie wie die zwei Seiten einer Unterscheidung untrennbar verbunden sind: Der Begriff der Zeit macht nur Sinn, wenn es Veränderungen gibt. Ändert sich nichts, können wir auch keine Zeit feststellen, und umgekehrt sind Veränderungen eines Zustandes nur in der Zeit auseinander zu halten.
Im Übrigen haben die Räume, die wir betrachten, auch keine Größe. Am Anfang der Laws of Form haben wir keine Konzepte wie Abstand, Gestalt oder Größe eingeführt, nur das Konzept der Unterscheidung. Insofern stehen Räume auch für keine Qualität, außer derjenigen, unterschiedene Zustände zu kennzeichnen. Ebenso finden wir in oder mit Gleichungen zweiten Grades eine Zeit, die lediglich den Wechsel zwischen den Zuständen darstellt, ohne weitere Eigenschaften wie Dauer zu implizieren.
Eine weitere Analogie stellen die Konzepte des positiven und negativen Feedbacks dar. Ein positives Feedback erinnert sich, ein negatives oszilliert. Das heißt, mit den Laws of Form haben wir eine Mathematik vorliegen, die Feedback-Prozesse beschreiben kann.
Mit dem re-entry bezeichnen wir ganz allgemein die Wiedereinführung einer Unterscheidung in den Bereich, den sie zu unterscheiden erlaubt. Ein Beispiel: Das Wissenschaftssystem ist nach der Systemtheorie von Niklas Luhmann auf der Grundlage der Unterscheidung wahr/nicht-wahr ausdifferenziert. Wenn man eine Wissenschaftstheorie erarbeitet, die die Verwendung dieser Unterscheidung wiederum mit der Unterscheidung wahr/nicht-wahr beobachtet, wird mit der Wissenschaftstheorie ein re-entry vollzogen. Bezüglich des Wissenschaftssystems befindet man sich in einer solchen Wissenschaftstheorie auf einer Meta-Ebene, da man nun die Frage nach der Wahrheit der Operation der Wissenschaft – also der Wahrheit der Unterscheidung wahr/nicht-wahr – stellen kann. Dadurch, dass es die gleiche Unterscheidung ist, die auf sich selbst angewendet wird, entsteht eine Situation,
„in der die Unterscheidung gleichzeitig dieselbe (als die besondere Unterscheidung der Operationen dieses Systems) und eine andere (als beobachtete Unterscheidung) ist“. (BARALDI, CORSI, ESPOSITO 1998: 152)
Im re-entry sind die systemeigene und die aktuelle Unterscheidung, die beobachtete und die beobachtende identisch. Dank des Rekurses auf die Zeit ist das System dazu fähig, die Operation der Unterscheidung auf sich selbst anzuwenden, die Unterscheidung als Teil seiner selbst zu behandeln. So wird sichtbar, dass eine Unterscheidung auf zwei verschiedenen Ebenen vorkommt: als die aktuell beobachtende Operation und als der Gegenstand der Operation.
Das Bild des Tunnels
Eine Möglichkeit, sich dieses Geschehen, das heißt die Oszillation zwischen den Werten, oder diesen Un-Zustand, das heißt den imaginären Wert, räumlich vorzustellen, liegt in dem Bild eines Tunnels, der die Grenze unterwandert. Durch den Tunnel gelangt die Markierung von der einen Seite der Unterscheidung auf die andere, ohne die Grenze zu kreuzen. Zu denken ist das als zeitlicher Vorgang, der räumlich durch die Untertunnelung dargestellt wird. Da f im Raum unbestimmt ist, kann f imaginär in Bezug auf die Form genannt werden, ist aber in Bezug auf die Zeit real und
„kann im Bezug auf sich selbst im Raum bestimmt und somit real in der Form werden.“ (SPENCER BROWN 1997: 53)
Wir befinden uns also weiterhin in der Form, die durch Selbstbezüglichkeit in eine zeitliche Dimension ausgedehnt wird. Im 11. Kapitel der Laws of Form geschieht damit etwas vollkommen Neues. Zu Beginn des Kalküls wurde mit der Definition der Unterscheidung als „perfekter Be-Inhaltung“ eine Grenze gezogen. Mit dem re-entry entdecken wir hier nun die andere Seite dieser ursprünglich grundsätzlichen Grenzziehung.
Über die Einheit einer jeden Unterscheidung – mathematisch der Raum, in dem die Unterscheidung getroffen wurde – sind ihre Seiten (imaginär) verbunden. Die eine Seite ist nichts ohne die andere.
Die Figur des re-entry verweist gerade auf die Einheit der zwei Seiten einer Unterscheidung und damit auf deren voneinander abhängigem Bestehen. Sie haben nicht nur eine gemeinsame Grenze. Man gelangt von einer Seite auf die andere trotz und wegen der Trennung.
Damit ändert sich die Definition der Unterscheidung. Mit dem imaginären Wert wird die Grenze zwischen den Seiten einer Unterscheidung unterwandert. Eine Unterscheidung, die in sich selbst auf einer ihrer Seiten wieder vorkommt, trennt ihre beiden Seiten nicht mehr perfekt, da man von einer Seite auf die andere gelangt, ohne die Grenze zu kreuzen.
Das Bild des Tunnels symbolisiert genau dies: auf die andere Seite zu gelangen, ohne zu kreuzen, dafür aber Zeit in Anspruch zu nehmen. Wir hatten ihre Perfektion bezüglich Be-Inhaltung die ganze Zeit angenommen und finden nun, dass sie so nicht ist; perfekte Be-Inhaltung „beinhaltet“ Imperfektion.
George Spencer Brown gibt jedoch keine neue Definition an. Er stellt lediglich veranschaulichend heraus, dass die ursprüngliche Definition der Unterscheidung erweitert werden muss, da man mit der Zeit von einer Seite auf die andere gelangt, ohne deren Grenze zu kreuzen.
Auch mit der Unterscheidung zwischen Raum und Zeit kann veranschaulicht werden, was mit der Definition, wie wir sie ursprünglich kennen gelernt haben, hier geschieht: Zu Beginn hatten wir die Unterscheidung nur für ihre räumliche Hinsicht definiert. In der Zeit kann die Grenze der Unterscheidung überschritten werden, wobei die räumliche Trennung perfekt bleibt. Alles wandelt sich, und dennoch können Beobachter an bestehenden Identitäten festhalten.
Die Änderung der Definition der Unterscheidung können wir auch lesen als: Mit Festlegung finden wir Veränderung. Insofern sind die beiden Seiten nicht verschieden. Sie gründen in einer Einheit (Verbundenheit), die man mit Zweiheit nicht erreichen kann. Mit der Einführung von Selbst-bezüglichkeit kommt die Einheit in der hier vorliegenden Form wieder in den Blick.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt ist etwas so oder anders, es ist festgelegt. Aber alles ist im Wandel, in Bewegung, und das können wir mit Hilfe der Idee von Zeit erkennen.
Eine offenkundige und angesichts der den Laws of Form vorangestellten chinesischen Schriftzeichen naheliegende Analogie finden wir in dem Symbol von Yin-Yang, das aus der daoistischen Tradition stammt.
Die weiße und die schwarze Fläche stehen für die Form einer Unterscheidung. Diese Unterscheidung steht auf einer Seite einer weiteren Unterscheidung, die durch den Kreis angezeigt ist. Zusätzlich zu der Grenze sind die Seiten über eine weitere Verbindung verknüpft: die Punkte der jeweils anderen Farbe auf beiden Seiten (wir werden im erkenntnistheoretischen Teil darauf zurück kommen: „Yin-Yang und der re-entry“ in III. 3., S. 186).
Felix Lau
Lau Form 102
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