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Die Zahl π und ihre poetischen Qualitäten.
Das Verhältnis des Kreisumfangs zu seinem Durchmesser ist der Wert einer Zahl mit Namen π - wie ebenso das Verhältnis des Kreisflächeninhalts zum Quadrat des Kreisradius. Mit Kreis und Quadrat, Kugel und Kubus sind wir bei völlig anderen Verhältnissen und Beschreibungen angelangt, von denen wir keinesfalls annehmen können, dass der gleichen in der wirklichen Welt anzutreffen wäre.
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π ist der Name einer Zahl, die viele Namen haben könnte, aber keinen der sich mittels Ziffern (oder Bruchzahlen) unseres arabischen Dezimalsystems ausdrücken ließe, außer mit unendlich vielen. Sie gehört deshalb zu den irrationalen Zahlen. Überdies zeichnet sich π durch die besondere Schönheit der Zahlen aus, die Arithmetik wird zur Menge der von ihnen so genannten normalen Zahlen zählen. „Normal“ bedeutet, dass in einer Zahl nur reine Unordnung und nicht etwa nur Unregelmäßigkeit aufzuspüren ist. In ihr, d.h. in ihrer Ziffernabfolge, herrscht Zufall, gar nichts sonst. Im Fall von π sind die bekannten Dezimalstellen anteilsmäßig unendlich wenige, aber aufgrund der ersten 100 Millionen Stellen scheint π eine solche normale Zahl zu sein. Eine Zahl wie π gebietet Ehrfurcht.
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Sämtliche Information im Kosmos steckt in der Zahl π, und dies nicht einmal, sondern in unendlich vielen Kopien, nebst unendlich vielen Versionen mit einer unendlich variierenden Fehlerzahl. In der Zahl π steckt nicht eine endliche, sondern eine unendliche Menge Information, und diese enthält notgedrungen die endliche Menge Information in unserem 13,5 Milliarden Jahre alten Kosmos als einen unendlich kleinen Bruchteil.
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Π Ist zudem zu jedem Zeitpunkt mit seinem vollständigen Bedeutungsgehalt gegeben. Die Zahl wartet nicht darauf, von uns in ganzer Länge hererzählt zu werden. Die Lebensdauer unseres Kosmos würde dazu bei weitem nicht ausreichen. Man beachte nun, dass es unendlich viele Zahlen der Art von π - nämlich eben irrationale Zahlen - gibt, und das ist noch keineswegs alles. Diese bilden auf den Zahlenstrahl die große Mehrheit aller reellen Zahlen, deren Menge die beiden Mengen der rationalen und irrationalen Zahlen umfasst. Die Menge der rationalen Zahlen enthält unendlich, aber abzählbar viele Elemente, was von jeder Menge gilt, bei der es eine Bijektion oder eindeutige Abbildung auf die Menge der natürlichen - d.h. positiven - ganzen Zahlen gibt. Diese enthält ihrerseits unendlich viele Elemente. Jede Menge, deren Zahl von Elementen größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen, enthält überabzählbar viele Elemente, wie dies bei der Menge der irrationalen Zahlen der Fall ist. Im Unterschied zu sogenannten transzendenten Zahlen nennt man die durch Gleichungen ausdrückbaren irrationalen Wurzeln natürlicher Zahlen auch algebraische Zahlen. Doch diese bilden nur einen winzig kleinen Bruchteil der Menge aller irrationalen Zahlen, von denen die vielmehr größere Mehrheit sich jeder Darstellungsmöglichkeiten im Endlichen entzieht. Es gibt überabzählbar unendlich viele Zahlen, die sich von π nur gerade durch eine einzige ihrer überabzählbar unendlich vielen Stellen unterscheiden.
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Unter anderem ergibt sich daraus, dass auch alle räumlichen Relationen in der physikalischen Welt irrationalen Zahlen werden entsprechen. Das heisst, falls man es nochmal sagen darf und soll: mit rationalen Zahlen sind sie nichts zu messen. Ein Computer kennt keine irrationalen Zahlen oder davon höchstens rationale Näherungswerte. Genauso geht es unserem Hirn.
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Die universelle Dominanz der irrationalen Zahlen bedeutet, dass jede Darstellung und Repräsentation räumlicher Größen mit endlichen Mitteln grundsätzlich nur Approximation, Annäherung sein kann.
Genau so unfassbar wie die überabzählbar Menge irrationaler Zahlen ohne Namen wird damit auch der Begriff absolute Genauigkeit, der uns zu sagen erlauben würde, dass sich das Universum zum Zeitpunkt x in genau einem - oder, wie man auch sagt, einem und nur einem - Zustand befände. Nicht nur Erkenntnis und Maß sind demnach ungenau, sondern - wenn wir einmal so sprechen dürfen, weil wir so sprechen müssen - das Sein aller Materie selber bedeutet Ungenauigkeit, Unschärfe, Vagheit.
Endliches kann, da es eben endlich ist, nicht einmal unendlich genau sein; deshalb ist es ungenau, und d.h. auch: nur mit Einschränkungen zuverlässig und berechenbar.
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In der physikalischen Welt bleibt damit nichts übrig, was bei unendlich genauer Ausgangslage mit absoluter Genauigkeit determiniert sein könnte.
Ganz im Sinne des vorigen Kapitels ist nicht nur alles Chaos; auch das Attribut „deterministisch“ ist hinfällig. Nicht erst die Wirklichkeit, schon allein die Zahlentheorie bürgt dafür. Selbst wenn in gewissem Rahmen Voraussagen und, gestützt darauf, technisch anspruchsvolle Unternehmungen wie eben zum Beispiel Raumflüge möglich sind - ein beruhigender Umstand, der sich den statistischen Gegebenheiten großer Mengen, limitierte Genauigkeit und entsprechender Fehlertoleranz verdankt: der Zufall hat über all seinen Part, ist aus der Wirklichkeit nirgends auszumerzen.
Beobachtung 3. Ordnung
Zahlentheorie
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