Felix Lau
Die Form der Paradoxie

Eine Einführung in die Mathematik und Philosophie der „Laws of Form“ von G. Spencer Brown
Carl-Auer 2008


Lau Form 48-69
Laws of Form 2. Kapitel:
Formen, der Form entnommen
Die Anweisung und die Markierung

Die Darstellung des Indikationenkalküls begann George Spencer Brown mit der Einführung der Ideen der Anzeige und der Unterscheidung und er fordert nun konstruktiv anweisend die Lesenden auf:

Triff eine Unterscheidung. Nenne sie die erste Unterscheidung.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)
Draw a distinction. Call it the first distinction.“ (SPENCER BROWN 1969: 3)

Wie George Spencer Brown durch die Erwähnung der Methode von Befehl und Betrachtung hervorhebt, sind sowohl Unterscheidung als auch Anzeige nichts, was an sich vorhanden wäre, also ohne jemanden, der sie trifft und gebraucht. Dies betonend schreibt George Spencer Brown entgegen dem üblichen mathematischen Sprachgebrauch nicht „Es sei eine Unterscheidung“. Vielmehr manifestiert sich in dem Gebrauch des Imperativs, mit dem George Spencer Brown startet, auch sprachlich die erkenntnistheoretische Umstellung von Beobachtung von Dingen auf Beobachtung von Differenzen, die ein Beobachter gebraucht. Nichts wird als unabhängig vom Beobachter angesehen. Vom Standpunkt des Kalküls, also ohne Berücksichtigung des Vorwortes zur Methode von Befehl und Betrachtung, ist diese Einsicht hier allerdings noch latent und wird erst im 12. Kapitel der Laws of Form explizit (vgl. den Abschnitt I. 5., S.102ff.).

Da wir etwas weiter unten feststellen werden, dass die Form der Unterscheidung für jede Unterscheidung identisch ist, stellt sich die Frage, warum die erste von allen anderen unterschieden wird, indem sie als einzige einen speziellen Namen bekommt. Was ist mit der ersten Unterscheidung, die allen anderen vorausgeht, gemeint? Diese Frage wird im 12. Kapitel der Laws of Form wieder aufgegriffen. An dieser Stelle dient die Auszeichnung lediglich als Bezugspunkt: man kann auf die erste Unterscheidung verweisen. Im Folgenden wird es die „erste Unterscheidung“ sein, die den Wert hervorbringt, mit dem im Kalkül gerechnet wird (vgl. den Abschnitt „Ausdruck und Wert“, S. 55f.).

In den folgenden Sätzen der Laws of Form werden die allgemeinen Begriffe Raum und Zweck bestimmt.

Nenne den Raum, in dem sie [die Unterscheidung; F. L.] getroffen wird, den Raum, der durch die Unterscheidung geteilt oder gespalten wird.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)

Eine Unterscheidung teilt immer eine Einheit, sie wird hier Raum genannt.
Mit Raum ist nicht die alltägliche, umgangssprachliche Bedeutung gemeint, die mit Dimension und Entfernung zusammenhängt.
Raum ist durch das Treffen einer Unterscheidung bestimmt:

Nenne die Teile des Raumes, der durch die Teilung oder Spaltung gebildet wird, die Seiten der Unterscheidung oder wahlweise die Räume, Zustände oder Inhalte, die durch die Unterscheidung unterschieden werden.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)

Die Teile oder Seiten der Unterscheidung werden auch wieder Räume genannt. Ein Raum ist also dadurch gegeben, dass eine Unterscheidung getroffen wird. Eine Unterscheidung bringt zunächst einmal zwei Räume hervor: den angezeigten und den unangezeigten – eben die beiden Seiten einer Unterscheidung. Zudem wird die Unterscheidung in einem weiteren Raum getroffen.

Unter Vorgriff auf die Idee einer Markierung, die erst ein paar Sätze später als Markierung einer Unterscheidung eingeführt wird, kommt George Spencer Brown zu dem Begriff des Zwecks, der für den ersten Kanon, den wir schon kennen gelernt haben, notwendig ist.

Lass jegliche Markierung, jegliches Token oder Zeichen zusammen mit der, oder in Bezug auf die Unterscheidung als ein Signal aufgefasst werden. Nenne die Verwendung eines jeglichen Signals dessen Zweck.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)

Jedes Zeichen ist ein Signal, wenn man seine Bedeutung kennt bzw. wenn man ihm Bedeutung zuschreiben kann. Buchstaben oder Wörter sind Beispiele für Signale, deren Verwendung selbstverständlich für uns ist; wir wissen, was gemeint ist. Die Verwendung eines Signals ist der Zweck eines Signals. Mit diesem Zeichen bezwecke ich dies, mit einem anderen anderes. Und dann lässt sich auch beschreiben, dass in bestimmten Situationen die Nicht-Verwendung eines Zeichens zweckhaft sein kann.

Der Indikationenkalkül umfasst – wie jede mathematische Theorie – auch „Gesetze“, die außerhalb der Berechnung, also außerhalb eines Kalküls stehen. Dabei handelt es sich um allgemeine Grundprinzipien, die die Kalkulation selbst regeln. George Spencer Brown nennt solche Gesetze „Kanon“ .

Der erste Kanon, die so genannte Vereinbarung über die Absicht, ist ein fundamentaler Kanon für jede mathematische Darstellung:

Lass den Zweck eines Signals auf dessen erlaubte Verwendung beschränkt sein. (...) Was nicht erlaubt ist, ist verboten.“ (SPENCER BROWN 1997: 3)

Dieser Kanon wurde oben schon erwähnt. Im Grunde ist er trivial und selbstverständlich für eine jede präzise mathematische Abhandlung. Ein Signal darf nur für den Zweck gebraucht werden, für den es eingeführt und erlaubt wurde. Wir könnten den Kanon auch „Gesetz der Präzision“ nennen. Er ist fundamental für jede Mathematik, wenngleich zumeist nur implizit, indem er unerwähnt verwandt wird. Er ist die Regel, die notwendig ist, um zu verhindern, dass vage oder abhängig von Meinung wird, welche Rechen- und Beweisschritte zulässig sind. Man wüsste ohne den ersten Kanon nicht, was möglich, was erlaubt ist – alles Mögliche und Unmögliche wäre erlaubt. Für uns, die wir den Kalkül erkunden, bedeutet das: Man darf nur tun, was eingeführt und erlaubt wurde. Solange etwas nicht erlaubt ist, weil man es (noch) nicht rechtfertigen kann, ist es verboten.

Für die formale Darstellung benötigt der Kalkül ein Symbol für das Treffen einer Unterscheidung. Mit ihm soll angezeigt werden, dass zwei Seiten voneinander getrennt wurden und dass die eine angezeigt wird. Die Markierung, die George Spencer Brown einführt, ist minimalistisch: ein senkrechter Strich unterscheidet zwei Seiten, also rechts und links vom Strich, ein waagerechter, oben an dem senkrechten anschließender und nach links gerichteter Strich bezeichnet die angezeigte und nicht die andere Seite.

MARK -CROSS - TOKEN

Boe: Ich kann die Formeln in meinem Editing-Programm nicht wiedergeben, sorry! Wer hier mitdenken will, sei auf Laus Buch verwiesen

Die Markierung bzw. das cross, das gelegentlich auch als „Token“ bezeichnet wird, ist eine abkürzende Schreibweise für einen Kreis. Der senkrechte Strich trennt die linke von der rechten Seite; in einem geschriebenen Text trennt man damit zum Beispiel Worte oder Buchstaben voneinander. Der waagerechte Strich im cross markiert die angezeigte Seite einer Unterscheidung. Die Markierung der Unterscheidung kennzeichnet einen Zustand oder Raum, der durch die Unterscheidung unterschieden wurde. Das heißt, ein cross markiert einen Raum: den Raum, in dem es steht.

Um den Raum zu markieren, wird eine Grenze in ihm gezogen und eine der dadurch bedingten Seiten angezeigt. Das Verhältnis von Raum und Seite ist analog zu der in der Systemtheorie bekannten Unterscheidung zwischen Medium und Form, auf die wir gleich zu sprechen kommen.

Den markierten Zustand oder Raum identifizieren wir mit dem Vorhandensein der Markierung und damit mit dem Getroffensein der Unterscheidung, den unmarkierten mit der Abwesenheit von beidem.

Wir brauchen also nur eines (die Markierung der Unterscheidung), um in der Formali-sierung zweierlei zu haben, die Anwesenheit oder die Abwesenheit einer Markierung. Deshalb benötigen wir nur ein Symbol, obwohl wir zwei Zustände voneinander unterschieden haben. Zudem wird auch keine Unterscheidung zwischen Operator und Operand gemacht. In diesem Zusammenhang deutet sich an, dass das cross nicht der Negation entspricht, denn eine Negation benötigt stets eine Position (vgl. in II. 1. den Abschnitt zur Unterscheidung zwischen cross und Negation, S. 122f.). Die Markierung hingegen ist die eine Seite der Unterscheidung „markiert bzw. getroffen“ und „unmarkiert bzw. nicht getroffen“.

Der Grund dafür, dass bisherige Mathematik ihren Ursprung nicht finden konnte (mehr dazu im „Exkurs in den mathematik-geschichtlichen Zusammenhang“ in Kapitel II., S. 114ff.), scheint in der Tat zu sein, dass bislang stets zwei Namen für die beiden (gegensätzlichen) Zustände herangezogen wurden: a und non-a. In den Laws of Form ist eine Seite markiert (hat einen Namen), die andere bleibt unmarkiert und hat zwar den Namen „unmarkiert“, so dass darüber geredet werden kann, hat jedoch innerhalb des Kalküls kein Symbol. Die Abwesenheit eines Symbols wird als der Name des unmarkierten Zustandes gebraucht. Wenn man (an einer Stelle) in einem Ausdruck keinen Namen findet, weiß man, dass dort der unmarkierte Zustand ist. Das heißt, man benötigt kein zweites Symbol.

Die Form

Da sich der Begriff der Form in den Laws of Form über den Begriff der Unterscheidung erschließt, haben wir zunächst die Unterscheidung betrachtet. Nun wird der Formbegriff bestimmt. Für ihn gilt: Haben wir eine Unterscheidung getroffen, können wir ihre „Struktur“ als Form bezeichnen:

Nenne den Raum, der durch jedwede Unterscheidung gespalten wurde, zusammen mit dem gesamten Inhalt des Raumes die Form der Unterscheidung. Nenne die Form der ersten Unterscheidung die Form.“ (SPENCER BROWN 1997: 4)

Das heißt, dass von Form gesprochen wird, wenn eine Unterscheidung getroffen wird. Im ersten Kapitel der Laws of Form hatte George Spencer Brown die Form als die Form der Unterscheidung statt als Form der Anzeige bestimmt. Nun findet diese Entscheidung Ausdruck in der Benennung der Form.

Zudem wird als weitere Differenzierung angegeben, die Form der ersten Unterscheidung als die Form zu bezeichnen. Die Form wird in jede weitere Unterscheidung kopiert, so dass neue Formen entstehen, die mit der ursprünglichen „der Form nach“ identisch sind.
Es gibt nur eine Form: die Form der Unterscheidung.

Die Form der Unterscheidung ist für jede Unterscheidung dieselbe, sie ist immer
Zwei-Seiten-Form, wobei die eine Seite angezeigt ist. Wenn wir verschiedene Unterscheidungen (vorstellend, nicht treffend) vergleichen, so ist Form das allen Gemeinsame, und unterschiedlich sind sie, weil sie Verschiedenes anzeigen bzw. bezeichnen.

Das heißt, in dem, was eine Unterscheidung unterscheidet, unterscheidet sie sich von allen anderen Unterscheidungen; und darin, in welcher Form sie unterscheidet, ist sie mit allen Unterscheidungen identisch (vgl.
BAECKER 2002: 70). Da also jede Unterscheidung die gleiche Form hat, ist es gleichgültig, mit welcher Unterscheidung wir beginnen. Sie ist nur die erste Unterscheidung und unterscheidet sich ansonsten von keiner anderen.

Die Form ist der Raum, der durch jedwede Unterscheidung gespalten wurde, zusammen mit dem gesamten Inhalt, den beiden Seiten und der Grenze zwischen ihnen.

Der Spencer Brownsche Formbegriff bringt also schon insofern Selbstbezüglichkeit mit sich, als er beides, die beiden Seiten einer Unterscheidung und die Seite einer Unterscheidung (Raum), in der diese Unterscheidung getroffen wird, zusammenbringt.
Jeder Raum ist eine Seite einer Unterscheidung und eine Unterscheidung wird in einer weiteren Unterscheidung (einer ihrer Seiten) getroffen. Auch oben hatten wir schon erkannt, dass eine Unterscheidung in einem „Raum“ getroffen wird und diesen in „Räume“ unterteilt. Wenn man so will, umfasst der Formbegriff alle drei Räume einschließlich einer Grenze.

Diese vier „Elemente“ der Form bilden eine Zusammengehörigkeit in dem Sinne, dass aus
angezeigter Seite, unangezeigter Seite, ihrer Grenze und dem umfassenden Raum nichts entfernt werden kann, ohne die Form zu zerstören. Mit der Elimination von einem dieser Vier verschwinden auch die anderen. Das führt insbesondere zu dem Schluss, dass etwas, eine Einheit, für sich selbst – also unabhängig – nicht existieren kann (siehe dazu den erkenntnistheoretischen Teil dieses Textes).

Denn
sobald jemand etwas – das kann ein Ding, ein Gedanke, eine Idee wie die Idee einer Unterscheidung etc. sein, eben etwas, was als ein Etwas erkannt wird – als das erkennt, als was er es erkennt, trifft er oder sie eine Unterscheidung, indem eben eine Seite angezeigt wird, und damit ganz unbeobachtbar nebenher die nicht angezeigte Seite sowie die Grenze zwischen den Seiten erzeugt oder mitbedingt wird. Den vierten oder mithervorgerufenen Aspekt des umfassenden Raumes kann man auch als Kontext des Standpunktes bezeichnen. Es ist der Raum, in dem die Seiten der Unterscheidung stehen (wenn wir es aufzeichnen).

In dieser grafischen Veranschaulichung erkennen wir den Innenraum des Kreises, den ihn umgebenden Raum und den gesamten Raum (innerhalb des Quadrats), der die beiden ersten Räume umfasst (und der seinerseits als Raum, der durch eine weitere Unterscheidung von einem anderen Raum getrennt wurde, aufgefasst werden kann).

Entsprechend heißt es bei George Spencer Brown:

Lass jedes Token der Markierung so verstanden werden, dass es den Raum, in den es kopiert wird, spaltet. Das heißt, lass jedes Token eine Unterscheidung in seiner eigenen Form sein.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)

Das meint, dass nur eine Art (Form) der Unterscheidung angenommen wird, denn jede Unterscheidung hat nach dieser Anweisung die Form der ersten Unterscheidung. Des Weiteren ergibt sich, dass wir zu dem Begriff der Form (zunächst) kein Gegenüber, keine andere Seite finden können, da wir dazu eine Unterscheidung gebrauchen müssten und diese nach der Definition wieder in der Form wäre. Jede Unterscheidung ist eine Trennung der Welt in zwei Seiten und jedes Treffen einer Unterscheidung erzeugt Form. Mit jeder Gegenüberstellung würde man wieder eine Form schaffen, die Form von Form und Nicht-Form, wie auch immer Nicht-Form benannt würde.

Begriff des „Mediums
Im Gegensatz zur aristotelischen, scholastischen und ästhetischen Tradition, die dem Formbegriff die Differenzbegriffe Materie, Substanz und Inhalt gaben, besitzt für den Spencer Brownschen Formbegriff lediglich der Begriff des „Mediums“ von Fritz Heider (siehe HEIDER 1926: Ding und Medium) als Gegenbegriff (zu Form) Überzeugungskraft. Er beschreibt die unverfügbaren Voraussetzungen jeder Formbildung, den Kontext der Unterscheidung.

Das Medium stellt den Hintergrund dar, auf dem Formen entstehen. Man denke an Fußabdrücke (Form) im Sand (Medium) oder an Worte (Form), die aus Buchstaben (Medium) gebildet werden. In dieser Hinsicht ist der
Begriff des Mediums ein Gegenbegriff zu Form.

Wenn man so will, werden Unterscheidungen formbildend getroffen in einem Medium, das dies zulässt. Der Unterschied ist jedoch kein fester, gesetzter, absoluter, eher ein loser, operativer, relativer, da er den Standpunkt der Beschreibung betrifft, von dem aus unterschieden wird; das meint die Ebene, auf der man sich befindet. Denn: Auch das Medium ist wieder eine Seite einer Form und ebenso kann jede Form ein Medium für weitere Formen sein. Man denke an Schrittmuster (Form) am Strand, die aus Fußabdrücken (Medium) bestehen oder an Sätze (Form), die aus Worten (Medium) gebildet werden. Das zeigt anschaulich,
dass der Begriff „Medium“ im strengen Wortsinne kein Gegenbegriff zu „Form“ ist, sondern „Form“ und „Medium“ dafür eingesetzt werden, Ebenen voneinander zu unterscheiden.

Das Medium stellt im weitesten Sinne den Raum dar oder die Substanz, in oder aus oder mit der Formen gebildet werden können. Dabei ist das Medium nicht als eine oder als die Ursache für Formen zu denken. Vielmehr stellt das Medium eine Einschränkung der möglichen Formen dar. Medien beschränken, welche Formen „in ihnen“ oder „durch sie“ entstehen können; als diese Einschränkung ist ein Medium nicht Ursache der Formen, sondern deren Voraussetzung (siehe
BAECKER 1999: 175).

Der Formbegriff des Indikationenkalküls umfasst den Raum, in dem die beiden Seiten der dort getroffenen Unterscheidung stehen. Insofern ist der Begriff des Mediums als Ergänzungsbegriff – statt als Gegensatzbegriff – zu Form zu verstehen, der die Beschreibung von Form und insbesondere von konkreten Formen in ihrem Zusammenhang erleichtert (in dem erkenntnistheoretischen Teil wird „Leere“ (empty space) als Gegenbegriff zu Form erprobt).

Ausdruck und Wert
Indem die Form der Unterscheidung kopiert wird, erhalten wir eine zweite Form, die unterschieden von der ersten ist. Sie ist nur unterschieden dadurch, dass sie eine andere, eine weitere ist, die jedoch der Form nach mit der ersten identisch ist. Es werden Unterscheidungen unterschieden und wir befinden uns weiterhin in der Form. Jede Kopie der Markierung nehmen wir als Zeichen oder Symbol für den markierten Zustand.

Damit erhalten wir über die An- oder Abwesenheit einer Markierung die Unterscheidung zwischen unmarkiertem und markiertem Zustand. Das Zeichen kann als Name herangezogen werden, der den markierten Zustand anzeigt.

Unter einem Arrangement verstehen wir die Form einer Anzahl von cross, die der Bedingung genügt, dass verschiedene cross aufeinander bezogen werden bzw. zusammen stehen. Das heißt, dass Markierungen ineinander oder nebeneinander stehen. Wenn wir also ein Blatt Papier mit Kreisen versehen haben und in die Form der Markierung der Unterscheidung ( ) bringen, nennen wir dies ein Arrangement.

Raum für die Übersetzung der oben (Seite 47) gezeichneten Kreise:

Wenn ein Arrangement von Markierungen insgesamt als eine Anzeige gemeint ist, also entweder den markierten oder unmarkierten Zustand anzeigt, nennt George Spencer Brown es Ausdruck.

Dies führt zu einem zentralen Konzept eines jeden Kalküls, der Leitunterscheidung der Berechnungen: dem Wert. Den Wertbegriff hatten wir im Zusammenhang mit dem Nennen des Namens und dem Kreuzen der Grenze kennen gelernt (vgl. in I. 1. den Abschnitt „Die Axiome“, S. 41f.). Nun wird die Verbindung des Wertes mit beliebigen Ausdrücken hergestellt.

Nenne einen Zustand, der durch einen Ausdruck bezeichnet [angezeigt; F. L.] wird, den Wert des Ausdrucks.“ (SPENCER BROWN 1997: 4)

Der Wert eines Ausdruckes ist damit entweder markiert oder unmarkiert. Das heißt für den Mathematiker oder Logiker vor allem: Der Indikationenkalkül startet zweiwertig. Die Anzeige eines Zustandes kann mit dem Wert des Zustandes identifiziert werden, und daher meint der Begriff Ausdruck, dass das Arrangement in Bezug auf seinen Wert betrachtet wird, also daraufhin, ob der Ausdruck mit dem markierten oder mit dem unmarkierten Zustand identifiziert werden kann. Die Unterscheidung zwischen „markiert“ und „unmarkiert“ geht einher mit der ersten Unterscheidung. Wäre die erste Unterscheidung beispielsweise die zwischen „gut“ und „schlecht“, würden alle folgenden im Lichte dieser Unterscheidung betrachtet, wobei soweit noch unbestimmt wäre, welche Seite mit welchem Wert identifiziert wird. Für den Indikationenkalkül unterscheidet die erste Unterscheidung ganz allgemein zwischen dem markierten und unmarkierten Zustand oder Wert, weshalb wir im Folgenden bezüglich des Wertes gelegentlich auf die erste Unterscheidung zurückkommen.

Dass ein beliebiges Arrangement überhaupt mit einem der beiden Zustände identifiziert werden kann, ist bis zu dieser Stelle im Kalkül noch nicht erwiesen. Zu diesem Zweck werden die Axiome herangezogen und in eine dem Kalkül angepasste Form gebracht.

Die Grundgleichungen

Mit der Einführung einer Markierung für einen (durch eine Unterscheidung) unterschiedenen Zustand und der Einführung von Ausdrücken, die wir als die Form einer Anzahl von zusammenstehenden Markierungen der Unterscheidung auffassen, die als Anzeige beabsichtigt sind, können die beiden Axiome, die im ersten Kapitel entdeckt wurden, formalisiert werden. Dabei wird der Begriff der Äquivalenz für Gleichungen benötigt, in denen die Ausdrücke auf beiden Seiten des Äquivalenzzeichens den gleichen Wert haben. Die zwei Seiten einer Gleichung, die beiden äquivalenten Ausdrücke, sind unterschiedlich, können aber miteinander gleich gesetzt werden, weil sie den gleichen Wert haben. Äquivalenz bezieht sich auf den Wert eines Ausdruckes.

Nun werden die beiden Axiome aus dem ersten Kapitel der Laws of Form in die folgenden Formen der „Kondensation“ und der „Aufhebung“ gebracht. Die damit bezeichneten Äquivalenzen von zwei Ausdrücken sind allgemeingültige Formen, die der ursprünglichen Form der Unterscheidung entnommen sind. Für die formale Darstellung der Axiome ist zu beachten, dass das Nennen als Nebeneinander und das Kreuzen als Ineinander der zwei cross interpretiert werden.

Boe: Ich kann die Formeln in meinem Editing-Programm nicht wiedergeben, sorry! Wer hier mitdenken will, sei auf Laus Buch verwiesen

„Nun folgt aus Axiom 1: =

Nenne dies die Form der Kondensation.“ (SPENCER BROWN 1997: 4)

Die Form der Kondensation ist das Resultat der formalen (und symbolischen) Umsetzung von „Wieder-Nennen ist Nennen“.

Lass jedes Token als Anweisung beabsichtigt sein, die Grenze der ersten Unterscheidung zu kreuzen.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)

Das Token, also das Zeichen für die Markierung einer Unterscheidung, steht einerseits als Name für den markierten Zustand und andererseits als Anweisung für die Kreuzung der Grenze der ersten Unterscheidung. Wir hatten diese doppelte Bedeutung des cross schon im Zusammenhang der Rechtfertigung der Axiome des ersten Kapitels der Laws of Form betrachtet. Nun wird sie formal ausgedrückt. Es betrifft die Grenze der ersten Unterscheidung, weil wir nur eine Form haben; jedes cross ist eine Kopie dieser Form.

Das Kreuzen hat auch eine Richtung:

„Lass die Kreuzung von dem Zustand weg erfolgen, der auf der Innenseite des Tokens bezeichnet [angezeigt; F. L.] ist. Lass die Überschreitung in den Zustand erfolgen, der durch das Token bezeichnet [angezeigt; F. L.] wird.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)

Haben wir eine Unterscheidung getroffen und ein cross geschrieben, bedeutet das, dass wir die Grenze der Unterscheidung in Richtung auf den Raum kreuzen, der durch den markierten Zustand angezeigt ist, das heißt von der Innenseite des cross auf seine Außenseite, das ist der Raum, in dem das cross steht.

Steht auf der Innenseite eine weitere Unterscheidung, wird dieselbe Grenze erneut gekreuzt. Nun sind wir wieder im unmarkierten Zustand, dem Raum, der durch das oder mit dem ersten cross angezeigt wird. Formal veranschaulicht wird dies durch:

„Nun folgt aus Axiom 2: = .

Nenne dies die Form der Aufhebung.“ (SPENCER BROWN 1997: 5)

Die Form der Aufhebung ist das Resultat der formalen Umsetzung von: „Wieder-Kreuzen ist nicht Kreuzen.“ Im Allgemeinen meint eine Unterscheidung zu treffen (hier also: ein cross zum Zwecke der Anzeige zu gebrauchen), die Grenze der Unterscheidung in Richtung auf die Außenseite zu kreuzen, so dass die Unterscheidung getroffen ist. Wird die Grenze erneut gekreuzt, ist sie nicht mehr getroffen; das meint, dass das wiederholte Kreuzen den Wert des Zustandes ändert. Durch die Wiederholung kommt man wieder in den unmarkierten Raum, in den das erste cross geschrieben wurde.

In den Anmerkungen zum zweiten Kapitel der Laws of Form gibt George Spencer Brown eine Ableitung des zweiten Axioms an, die sehr einleuchtend ist, für die aber die Form der Substitution benötigt wird, die bisher noch nicht gerechtfertigt wurde (siehe SPENCER BROWN 1969: 71f.). Im Haupttext kommt diese Erläuterung deshalb nicht vor. Ganz allgemein gilt, dass immer eine Seite einer Grenze markiert und die andere unmarkiert ist. Wenn wir das mit einer Markierung m veranschaulichen, ergeben sich die beiden folgenden Möglichkeiten: Wenn der Raum innerhalb eines cross der markierte ist, so ist der Raum außerhalb der unmarkierte, und umgekehrt: Wenn der Raum außerhalb des cross markiert ist, ist der Raum innerhalb unmarkiert. Das heißt (indem wir m für markiert stehen lassen): m = . und = m. Aus dem Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste folgt das zweite Axiom.

Die beiden Formen der Kondensation und der Aufhebung ergeben sich aus dem Treffen einer zweiten Unterscheidung auf entweder der Außen- oder der Innenseite einer ersten Unterscheidung. Diese Formen werden in dem Indikationenkalkül als primitive Gleichungen bezeichnet, da sie ursprünglich aus der Idee der Unterscheidung abgeleitet wurden und die grundlegendsten und einfachsten sind. In diesem Text werden sie „Grundgleichungen“ genannt. Aus oder mit ihnen werden später kompliziertere Gleichungen gefunden.

Der markierte und der unmarkierte Zustand werden als die beiden einzigen einfachen (oder primitiven) Ausdrücke bezeichnet. Da ein komplizierterer Ausdruck auch eindeutig mit einem Wert identifiziert werden kann, können wir jeden beliebigen Ausdruck als eine (komplizierte) Unterscheidung auffassen.

Das cross

Die Markierung der Unterscheidung erhält einen Namen, den wir in diesem Text schon verwendet haben und der wegen seiner Doppeldeutigkeit dem Umstand gerecht wird, dass die Markierung auch als Anweisung verstanden wird, die Grenze zu kreuzen.

Wir sehen nun, dass, wenn ein Zustand bezeichnet [angezeigt; F. L.] werden kann, indem man ein Token als Namen gebraucht, er bezeichnet [angezeigt; F. L.] werden kann, indem man das Token als Anweisung vereinbarungsgemäß gebraucht. Jedes Token kann daher als Anweisung für die Operation einer Absicht aufgefasst werden und ihm kann selbst ein Name gegeben werden, cross, um zu bezeichnen [anzuzeigen; F. L.], was beabsichtigt ist.“ (SPENCER BROWN 1997: 6)

Das Treffen einer Unterscheidung – und damit der Gebrauch einer Anzeige oder eines Namens und das Kreuzen einer Grenze – ist damit die einzige Operation, die im Kalkül verwendet wird. Die Form der Unterscheidung ist die einzig zugelassene, und innerhalb des Kalküls finden wir keinen Weg, die Form zu verlassen, wir stoßen immer wieder auf die Form. Deshalb ist Be-Inhaltung die einzige Relation, die der Kalkül benötigt:

Nachdem wir entschieden haben, dass die Form jedes Tokens, das cross genannt wird, vollkommen in sich selbst enthalten sein muss, haben wir nur eine Art der Relation zwischen Kreuzen gestattet: Be-Inhaltung. Lass den Zweck dieser Relation so eingeschränkt sein, dass es heißt, ein cross beinhalte das, was auf seiner Innenseite ist, und beinhalte das nicht, was auf seiner Außenseite ist.“ (SPENCER BROWN 1997: 6)

Durch das Kopieren von cross in und neben andere werden komplizier¬tere Ausdrücke erzeugt. Die Markierung legt fest, was beinhaltet ist und was nicht.

Das Konzept der Tiefe eines Raumes wird in der Folge eine Hilfe sein, bestimmte Sachverhalte beschreiben zu können. Um die Tiefe des Raumes festzustellen, in dem ein beliebiger Ausdruck steht, zählt man von außen, wie viele Grenzen maximal überschritten werden können (siehe
SPENCER BROWN 1997: 17).

4 4 3 3 2 3 2 1 0

Der tiefste Raum dieses Ausdruckes hat die Tiefe vier, der seichteste Raum eines jeden Ausdruckes hat die Tiefe null. Der Raum der Tiefe Null ist der Raum, in dem der Ausdruck als ganzer steht.

Mit Hilfe des Konzeptes der Tiefe kann auch formuliert werden, was die ganze Zeit schon gewusst und benutzt wurde: Eine Unterscheidung wird in einem Raum getroffen, der wiederum eine Seite einer weiteren Unterscheidung darstellt. Diese ist nicht sichtbar, weil sie nicht mitgeschrieben wird. Man könnte auch nie alle mitschreiben, weil jede Unterscheidung wieder in einem Raum stehen müsste etc. Insofern liegt jedem Ausdruck ein ungeschriebenes cross zugrunde. Die Frage, die sich aufdrängt, ist dann aber: Was ist die erste Unterscheidung? In welchem Raum wird sie getroffen? (Vgl. I. 5. „Der re-entry der Form in die Form“, S. 102ff., bzw. das 12. Kapitel der Laws of Form).

Felix Lau
Lau Form 102


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